前两天随便谈了对数学小论文的认识，老师们似乎还有些共鸣。这几天越来越觉得，数学小论文是个特别好的事情，让小学生从研究数学的角度来看数学学习。而让老师和家长能明白，对于学有余力的学生来说，刷奥数题不是唯一的给他们提供更多学习的途径。但为什么会有这么多的老师和家长感到无所适从？每次到写论文的时候都问写什么，问写什么背后的意思其实是到底写什么容易获奖啊？
究其原因，我想大概是因为对数学小论文的写作的指导，是远远不够的，而对指导者的指导，更是处于差不多真空的地带。因此，我想如果有组织管理者、亲身参与者（老师家长）、还有独立第三方（研究者），能够坐下来好好讨论，对于数学小论文的写作能够出一些指导性的意见，起到导向的作用，大概对于孩子们的写作和老师们的指导是有很大帮助的。
而能够起导向作用的指导性意见，大概要至少包含两个方面的内容。一是评判数学小论文的标准，或者至少是从哪几个维度来看一篇小论文的质量；二是数学小论文大体可以分哪几类，也就是说怎样的论文是数学小论文。
1评判数学小论文质量的6个可能维度1、问题意识与问题质量。是指要从现象中提炼出问题的意识，当然，有时候论文讨论的本身可能就是纯数学问题。至于问题质量，应该是指这里的问题应当是与数学有关的，也就是说知道可以用数学的相关知识或思想方法来解决这个问题。而对数学小论文的“难度”的判断，应该体现在这个地方，比如说有些现象，可能并不是那么容易想到该用什么数学来解决。或者说，提出的问题本身数学含量高。而不是体现在用的数学知识是在中学甚至大学里才会学到。
2、数学味。这是对第一点的进一步阐释与具体化。即需要能够关联到具体的数学知识、思想或方法，而能体现出来的与数学的关联程度应该是评价一篇数学小论文的最重要的依据。比如，调查报告是大家很喜欢选择的一类数学小论文。那么，我认为相比调查主题是否是热点，更应该去看，这个调查报告中所涉及了怎样的数学。比如有些调查报告，可能会有分段函数、不等关系、迭代、转化等等，而有些调查报告可能从头到尾都只是算一个百分比而已。那么我想，数学味的差别应该是有差别的。
3、探究性。清楚解决这一问题，需要有怎样的研究起点，以及相关的分问题可以有怎样的层次性。这里需要特别指出的是，一篇数学小论文往往会包含好几个小问题，但这些小问题之间应该是有一定的逻辑关联度和层次性的，而对每一个小问题的探究都是最终为论文的结论服务的。这才是真探究，而不是说，好多问题其实都是“凑”上去的，跟最后的结论没有什么关系。
4、方法的创造性。在解决这个数学问题的时候是否能有意识地较好地运用某些数学方法，更进一步地，是否有尝试用不同的方法来解决这一问题。这里指的方法是指方法论层面的，而不仅仅是解题技巧的变化。比如是否有这样的意识，用几何的方法来解决代数的问题，或者用图形的方法来解决概率的问题，或者用理论推演的方法来解决调查的方法，等等。比如，用几何的方法来解决概率的问题就是个很有创造性的方法。当样本空间是有限的时候，可以用完全列举的方式，而在完全列举的时候可以有多种方法，可以用搭配，也可以用数对，而由数对又可以到在坐标系内表示，这些方法看起来似乎都差不多，都能解决问题，但用坐标系的方法是有创造性的，因为能够很轻易地联结到但当样本空间变成无限时的情况。这也就是下面要讲的内容。这里需要特别注意的是，方法的开创性是指数学意义上的，而不是说用了某个软件来“唬人”，就是方法上的创新了。
5、问题的延拓性与思维的生长性。所研究的问题本身，或者研究的过程当中，是否有产生新的问题，而对这些新问题的思考体现出了思维的生长性，比如这一问题的变式、加深、延拓等等。以上面提到的几何概型，是用几何图形的面积来解决概率问题，这是一种多么棒的“跨界”，而如果对这个东西有进一步的兴趣，那么说不定学生就去进一步研究蒙特卡洛方法了。因此，问题的延拓性是否好，是否能进一步促进思维的生长，应当去看是否能与一些已有的研究问题建立某种关联，或者产生某种猜想。
6、表达的明确性与简洁性。对于数学问题的阐述，以及解决的过程，应当是明确的简洁的。不应该有用非常多的繁琐的语言来叙述一个很简单就可以说清楚的事情。
2数学小论文的几种不同类型第一类，也应该是最值得提倡的，就是用数学的一些思想方法来看待、解决生活中习以为常的事情。而这种方法是有普适与推广意义的。比如斐波那契数列，请注意，这里说的是真正弄明白斐波那契数列是怎么回事以及到底该怎么去理解迭代这回事。这里不是指简单的罗列一个结果，而是要去探究为什么这个现象刚好可以用斐波那契数列来解决，要能真正明白过程与原理。这也是我一直强调的，数学小论文不要从标题来看内容是不是新的，够不够难，而是要去看背后蕴藏的稍微“大”一些的数学思想方法，要看到数学的bigpicture。
第二类，可能是调查类报告。这一类当然是数学小论文的一个重要内容，很多人会喜欢选择这一类，这一类最容易吸引眼球而且不愁没东西写。但个人认为调查类的数学小论文，容易出现一个偏差，就是过于看重调查的现象是否是“新潮”的东西。事实上，在调查类论文中，应该去看对某个现象，能怎么样从数学的角度来给出让人信服的依据，能不能支持最后的结论。而不是看这个现象是不是够“新潮”。再比如，有些问题的调查研究，从数学上已经明显超出小学生的水平与能力了，那么最后可能就用了做各种实验的方法，试验出数据，这当然是很好的调查报告，但可能用的更多的是科学学科的方法，而不是数学学科的方法。所以，这一类论文可能更倾向于是一种科学小论文。请注意，科学的学科思维与数学的学科思维是存在很大差别的。
第三类，当然要允许学生研究纯粹的数学问题，就是对遇到的一些数学问题的研究，就是从笔头到笔头的。
第四类，受到一位老师在上一篇文章中的启发。是否可以让学生去研究一些数学史的研究，去探究某些数学概念或者方法的历史发展？毕竟数学史也是数学的一个重要分支，而史学类研究是有其独特的价值和方法的。而数学史的研究事实上也更难，需要一定的文献功底与考据能力。
第五类，有没有可能就是学生自己的学习策略与心得呢？这一类论文该怎么展开，我还没想好。
最后想要说的是，选题当然永远是最重要的，但中小学生数学小论文的选题应该更多
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